1M Questions on Laplace Transforms

Contents

L.T. of Elementary Functions

Multiplication by tn & Division by t

L.T. of Integrals and Special Functions

Evaluation of Integrals using L.T

Inverse Laplace Transforms

Convolution Theorem

Application to Differential Equations

1M Questions

  1. If \( L\left[ \frac{\sin^{2}t}{t} \right] = \frac{1}{4}\log \left( \frac{s^{2}+4}{s^{2}} \right) \), then evaluate:

    \[ \int\limits_{0}^{\infty} e^{-2t} \frac{\sin^{2}t}{t} \, dt \]

    • A) \( \frac{1}{4}\log 2 \)
    • B) \( \frac{1}{2}\log 2 \)
    • C) \( \frac{1}{4}\log 3 \)
    • D) \( \frac{1}{2}\log 3 \)

    Answer: A) \( \frac{1}{4}\log 2 \)

  2. Evaluate \( L\left\{ \cos^{2}t \right\} \):

    • A) \( \frac{s}{s^{2}+4} \)
    • B) \( \frac{s^{2}+2}{s(s^{2}+4)} \)
    • C) \( \frac{1}{2}\left( \frac{1}{s} + \frac{s}{s^{2}+4} \right) \)
    • D) \( \frac{s}{s^{2}+2} \)

    Answer: C) \( \frac{1}{2}\left( \frac{1}{s} + \frac{s}{s^{2}+4} \right) \)

  3. Evaluate \( L\left\{ t^{100} \right\} \):

    • A) \( \frac{100!}{s^{100}} \)
    • B) \( \frac{100!}{s^{101}} \)
    • C) \( \frac{99!}{s^{100}} \)
    • D) \( \frac{100!}{s^{99}} \)

    Answer: B) \( \frac{100!}{s^{101}} \)

  4. If \( L\left\{ f(t) \right\} = \bar{f}(s) \), then find \( L\left\{ e^{5t}f(t) \right\} \):

    • A) \( \bar{f}(s-5) \)
    • B) \( \bar{f}(s+5) \)
    • C) \( \bar{f}(s/5) \)
    • D) \( \bar{f}(5s) \)

    Answer: A) \( \bar{f}(s-5) \)

  5. Find \( L\left\{ \sin(at+b) \right\} \):

    • A) \( \frac{a \cos b + s \sin b}{s^{2}+a^{2}} \)
    • B) \( \frac{a \sin b + s \cos b}{s^{2}+a^{2}} \)
    • C) \( \frac{a \cos b - s \sin b}{s^{2}+a^{2}} \)
    • D) \( \frac{a \sin b - s \cos b}{s^{2}+a^{2}} \)

    Answer: B) \( \frac{a \sin b + s \cos b}{s^{2}+a^{2}} \)

  6. Evaluate \( L\left\{ e^{at} \sin bt \right\} \):

    • A) \( \frac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)
    • B) \( \frac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)
    • C) \( \frac{b}{s^2 + b^2} \)
    • D) \( \frac{s}{s^2 + b^2} \)

    Answer: A) \( \frac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)

  7. Evaluate \( L\left\{ e^{2t+3} \right\} \):

    • A) \( \frac{e^3}{s-2} \)
    • B) \( \frac{e^3}{s+2} \)
    • C) \( \frac{e^2}{s-3} \)
    • D) \( \frac{e^2}{s+3} \)

    Answer: A) \( \frac{e^3}{s-2} \)

  8. Evaluate \( L\left\{ e^{-3t} \cos 2t \right\} \):

    • A) \( \frac{s+3}{(s+3)^2 + 4} \)
    • B) \( \frac{s-3}{(s-3)^2 + 4} \)
    • C) \( \frac{s}{s^2 + 4} \)
    • D) \( \frac{2}{s^2 + 4} \)

    Answer: A) \( \frac{s+3}{(s+3)^2 + 4} \)

  9. Evaluate \( L\left\{ t^3 e^{-5t} \right\} \):

    • A) \( \frac{6}{(s+5)^4} \)
    • B) \( \frac{6}{(s-5)^4} \)
    • C) \( \frac{3!}{s^4} \)
    • D) \( \frac{6}{s^4} \)

    Answer: A) \( \frac{6}{(s+5)^4} \)

  10. Evaluate \( L\left\{ e^{-2t} \sinh 2t \right\} \):

    • A) \( \frac{2}{(s+2)^2 - 4} \)
    • B) \( \frac{2}{(s-2)^2 - 4} \)
    • C) \( \frac{2}{s^2 - 4} \)
    • D) \( \frac{2}{s^2 + 4} \)

    Answer: A) \( \frac{2}{(s+2)^2 - 4} \)

  11. Evaluate \( L\left\{ \sin^{2}4t \right\} \):

    • A) \( \frac{8}{s(s^2 + 64)} \)
    • B) \( \frac{16}{s(s^2 + 64)} \)
    • C) \( \frac{32}{s(s^2 + 64)} \)
    • D) \( \frac{64}{s(s^2 + 64)} \)

    Answer: A) \( \frac{8}{s(s^2 + 64)} \)

  12. Evaluate \( L\left\{ e^{-at} t^{n} \right\} \):

    • A) \( \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} \)
    • B) \( \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \)
    • C) \( \frac{n!}{s^{n+1}} \)
    • D) \( \frac{n!}{(s+a)^n} \)

    Answer: A) \( \frac{n!}{(s+a)^{n+1}} \)

  13. Evaluate \( L\left\{ e^{t} \sin t \cos t \right\} \):

    • A) \( \frac{1}{(s-1)^2 + 4} \)
    • B) \( \frac{1}{(s-1)^2 + 1} \)
    • C) \( \frac{1}{(s+1)^2 + 4} \)
    • D) \( \frac{1}{(s+1)^2 + 1} \)

    Answer: A) \( \frac{1}{(s-1)^2 + 4} \)

  14. Evaluate \( L\left\{ (\sin t + \cos t)^2 \right\} \):

    • A) \( \frac{s^2 + 2s + 2}{s(s^2 + 4)} \)
    • B) \( \frac{s^2 + 2s + 2}{s^2 + 4} \)
    • C) \( \frac{s^2 + 2s + 2}{s(s^2 + 2)} \)
    • D) \( \frac{s^2 + 2s + 2}{s^2 + 2} \)

    Answer: A) \( \frac{s^2 + 2s + 2}{s(s^2 + 4)} \)

  15. Evaluate \( L\left\{ t \cos at \right\} \):

    • A) \( \frac{s^2 - a^2}{(s^2 + a^2)^2} \)
    • B) \( \frac{s^2 + a^2}{(s^2 - a^2)^2} \)
    • C) \( \frac{s^2 - a^2}{s^2 + a^2} \)
    • D) \( \frac{s^2 + a^2}{s^2 - a^2} \)

    Answer: A) \( \frac{s^2 - a^2}{(s^2 + a^2)^2} \)

  16. Evaluate \( L\left\{ t^4 e^{-t} \right\} \):

    • A) \( \frac{24}{(s+1)^5} \)
    • B) \( \frac{24}{(s-1)^5} \)
    • C) \( \frac{24}{s^5} \)
    • D) \( \frac{24}{(s+1)^4} \)

    Answer: A) \( \frac{24}{(s+1)^5} \)

  17. Evaluate \( L\left\{ t \sin at \right\} \):

    • A) \( \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2} \)
    • B) \( \frac{2a}{s^2 + a^2} \)
    • C) \( \frac{2as}{s^2 + a^2} \)
    • D) \( \frac{2a}{(s^2 + a^2)^2} \)

    Answer: A) \( \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2} \)

  18. Evaluate \( \int_{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt \), where \( L\left\{ \frac{\sin t}{t} \right\} = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}s \):

    • A) \( \frac{\pi}{2} \)
    • B) \( \frac{\pi}{4} \)
    • C) \( \frac{\pi}{6} \)
    • D) \( \frac{\pi}{3} \)

    Answer: A) \( \frac{\pi}{2} \)

  19. If \( f(t) = \begin{cases} \sin t, & 0 < t < \pi \\ 0, & t > \pi \end{cases} \), then evaluate \( L\left\{ f(t) \right\} \):

    • A) \( \frac{1 + e^{-\pi s}}{s^2 + 1} \)
    • B) \( \frac{1 - e^{-\pi s}}{s^2 + 1} \)
    • C) \( \frac{1 + e^{-\pi s}}{s^2 - 1} \)
    • D) \( \frac{1 - e^{-\pi s}}{s^2 - 1} \)

    Answer: B) \( \frac{1 - e^{-\pi s}}{s^2 + 1} \)

  20. Given that \( L\left[ \frac{\sin t}{t} \right] = \tan^{-1}\frac{1}{s} \), then evaluate \( L\left[ \frac{\sin 2t}{t} \right] \):

    • A) \( \tan^{-1}\frac{2}{s} \)
    • B) \( \tan^{-1}\frac{s}{2} \)
    • C) \( \tan^{-1}\frac{1}{2s} \)
    • D) \( \tan^{-1}\frac{s}{1} \)

    Answer: A) \( \tan^{-1}\frac{2}{s} \)

  21. Evaluate \( L\left\{ 3^{t} \right\} \):

    • A) \( \frac{1}{s - \ln 3} \)
    • B) \( \frac{1}{s + \ln 3} \)
    • C) \( \frac{1}{s - 3} \)
    • D) \( \frac{1}{s + 3} \)

    Answer: A) \( \frac{1}{s - \ln 3} \)

  22. State the Change of Scale Property:

    • A) \( L\{f(at)\} = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \)
    • B) \( L\{f(at)\} = F(sa) \)
    • C) \( L\{f(at)\} = \frac{1}{a} F(sa) \)
    • D) \( L\{f(at)\} = F\left(\frac{s}{a}\right) \)

    Answer: A) \( L\{f(at)\} = \frac{1}{a} F\left(\frac{s}{a}\right) \)

  23. State the First Shifting Theorem:

    • A) \( L\{e^{at} f(t)\} = F(s - a) \)
    • B) \( L\{e^{at} f(t)\} = F(s + a) \)
    • C) \( L\{e^{at} f(t)\} = e^{as} F(s) \)
    • D) \( L\{e^{at} f(t)\} = e^{-as} F(s) \)

    Answer: A) \( L\{e^{at} f(t)\} = F(s - a) \)

  24. If \( L\left\{ f(t) \right\} = \frac{20 - 4s}{s^2 - 4s + 20} \), then evaluate \( L\left\{ f(3t) \right\} \):

    • A) \( \frac{20 - 12s}{9s^2 - 12s + 20} \)
    • B) \( \frac{20 - 4s}{9s^2 - 12s + 20} \)
    • C) \( \frac{20 - 12s}{s^2 - 12s + 180} \)
    • D) \( \frac{20 - 4s}{s^2 - 12s + 180} \)

    Answer: A) \( \frac{20 - 12s}{9s^2 - 12s + 20} \)

  25. Evaluate \( \int_{0}^{\infty} e^{-4t} \sin 3t \, dt \):

    • A) \( \frac{3}{25} \)
    • B) \( \frac{3}{16} \)
    • C) \( \frac{3}{9} \)
    • D) \( \frac{3}{4} \)

    Answer: A) \( \frac{3}{25} \)

  26. Evaluate \( L^{-1}\left\{ \frac{6}{s^4} \right\} \):

    • A) \( t^3 \)
    • B) \( t^2 \)
    • C) \( t^4 \)
    • D) \( t^5 \)

    Answer: A) \( t^3 \)

  27. If \( L\left\{ t \cos 2t \right\} = \frac{s^2 - 4}{(s^2 + 4)^2} \), then evaluate \( \int_{0}^{\infty} e^{-4t} t \cos 2t \, dt \):

    • A) \( \frac{12}{400} \)
    • B) \( \frac{12}{256} \)
    • C) \( \frac{12}{144} \)
    • D) \( \frac{12}{64} \)

    Answer: B) \( \frac{12}{256} \)

  28. If \( L\left\{ \cos 3t \right\} = \frac{s}{s^2 + 9} \), then evaluate \( \int_{0}^{\infty} e^{-2t} \cos 3t \, dt \):

    • A) \( \frac{2}{13} \)
    • B) \( \frac{3}{13} \)
    • C) \( \frac{4}{13} \)
    • D) \( \frac{5}{13} \)

    Answer: A) \( \frac{2}{13} \)

  29. Evaluate \( L\left\{ 1 + e^{at} \right\} \):

    • A) \( \frac{1}{s} + \frac{1}{s - a} \)
    • B) \( \frac{1}{s} + \frac{1}{s + a} \)
    • C) \( \frac{1}{s} - \frac{1}{s - a} \)
    • D) \( \frac{1}{s} - \frac{1}{s + a} \)

    Answer: A) \( \frac{1}{s} + \frac{1}{s - a} \)

  30. If \( L\left\{ \frac{1 - e^{-at}}{t} \right\} = \log \left( \frac{s + 1}{s} \right) \), then evaluate \( L\left\{ \int_{0}^{t} \frac{1 - e^{-at}}{t} dt \right\} \):

    • A) \( \frac{1}{s} \log \left( \frac{s + 1}{s} \right) \)
    • B) \( \frac{1}{s} \log \left( \frac{s}{s + 1} \right) \)
    • C) \( \log \left( \frac{s + 1}{s} \right) \)
    • D) \( \log \left( \frac{s}{s + 1} \right) \)

    Answer: A) \( \frac{1}{s} \log \left( \frac{s + 1}{s} \right) \)

  31. Evaluate \( L\left\{ \int_{0}^{t} \cos t \, dt \right\} \):

    • A) \( \frac{1}{s(s^2 + 1)} \)
    • B) \( \frac{s}{s^2 + 1} \)
    • C) \( \frac{1}{s^2 + 1} \)
    • D) \( \frac{1}{s} \)

    Answer: A) \( \frac{1}{s(s^2 + 1)} \)

  32. If \( L\left\{ t \sin t \right\} = \frac{2s}{(s^2 + 1)^2} \), then evaluate \( \int_{0}^{\infty} t e^{-t} \sin t \, dt \):

    • A) \( \frac{2}{4} \)
    • B) \( \frac{2}{5} \)
    • C) \( \frac{2}{2} \)
    • D) \( \frac{2}{1} \)

    Answer: B) \( \frac{2}{5} \)

  33. Evaluate \( L^{-1}\left\{ \frac{6}{(s+1)^4} \right\} \):

    • A) \( t^3 e^{-t} \)
    • B) \( t^2 e^{-t} \)
    • C) \( t^3 e^{t} \)
    • D) \( t^2 e^{t} \)

    Answer: A) \( t^3 e^{-t} \)

  34. Evaluate \( L^{-1}\left\{ \frac{2s^2 - 4s + 4}{s^3} \right\} \):

    • A) \( 2t - 4 + 2t^2 \)
    • B) \( 2t^2 - 4t + 2 \)
    • C) \( 2t^2 - 4t + 4 \)
    • D) \( 2t^2 + 4t - 4 \)

    Answer: B) \( 2t^2 - 4t + 2 \)

  35. Evaluate \( L^{-1}\left\{ \frac{2s - 5}{s^2 - 9} \right\} \):

    • A) \( 2\cosh 3t - \frac{5}{3}\sinh 3t \)
    • B) \( 2\cosh 3t + \frac{5}{3}\sinh 3t \)
    • C) \( 2\sinh 3t - \frac{5}{3}\cosh 3t \)
    • D) \( 2\sinh 3t + \frac{5}{3}\cosh 3t \)

    Answer: A) \( 2\cosh 3t - \frac{5}{3}\sinh 3t \)

  36. Evaluate \( L^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+1)(s+2)} \right\} \):

    • A) \( e^{-t} - e^{-2t} \)
    • B) \( e^{-t} + e^{-2t} \)
    • C) \( e^{-2t} - e^{-t} \)
    • D) \( e^{-2t} + e^{-t} \)

    Answer: A) \( e^{-t} - e^{-2t} \)

  37. State the Convolution Theorem:

    • A) \( L\{f * g\} = F(s)G(s) \)
    • B) \( L\{f * g\} = F(s) + G(s) \)
    • C) \( L\{f * g\} = F(s) - G(s) \)
    • D) \( L\{f * g\} = F(s)/G(s) \)

    Answer: A) \( L\{f * g\} = F(s)G(s) \)

  38. Evaluate \( L\left\{ \frac{1 - e^{t}}{t} \right\} \):

    • A) \( \log \left( \frac{s - 1}{s} \right) \)
    • B) \( \log \left( \frac{s}{s - 1} \right) \)
    • C) \( \log \left( \frac{s + 1}{s} \right) \)
    • D) \( \log \left( \frac{s}{s + 1} \right) \)

    Answer: A) \( \log \left( \frac{s - 1}{s} \right) \)

  39. Evaluate \( L\left\{ \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} \cos at \, du \, du \right\} \):

    • A) \( \frac{1}{s^3(s^2 + a^2)} \)
    • B) \( \frac{1}{s^2(s^2 + a^2)} \)
    • C) \( \frac{1}{s(s^2 + a^2)} \)
    • D) \( \frac{1}{s^3} \)

    Answer: A) \( \frac{1}{s^3(s^2 + a^2)} \)